BPF_2

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    BPF(Band Pass Filter)
    21 1 26
    1 問題
    次の回路の伝達関数を求めよ。
    Amp1,2は理想アンプとする(バーチャルショートが成り立つ)。
    2 解法
    まず、Fig.1の回路方程式を立てるため、各経路における電流を
    変数 I12 I23 I24 I54 I46(I67)I78(suffixが各経路をあらわしている)
    とするとキルヒホッフの第一法則、第二法則を用いて
    I12 = I23 + I24 (1)
    I24 + I54 = I46 (2)
    Vin R1I12
    1
    j!C
    I23 = 0 (3)
    Vin R1I12 R2I24
    (
    R3 +
    1
    j!C
    )
    I46 = Vout (4)
    Vout = 2 RI 78 (5)
    また、理想アンプのためバーチャルショートを用いると
    1
    j!C
    I23 = RI 78 (6)
    R2I24 +
    1
    j!C
    I46 = 0 (7)
    と表すことができる。
    式 (5),(6)より、
    Vout =
    2
    j!C
    I23 (8)
    次に、式 (1),(2),(3),(4),(7)を用いて行列式を表すと
    0
    B
    B
    B
    B
    B
    B
    B

    資料の原本内容

    回路方程式による伝達関数の導出
    ―二段増幅型 BPF(Band Pass Filter)―
    増成伸一
    平成 21 年 1 月 26 日

    1

    問題

    次に、式 (1),(2),(3),(4),(7) を用いて行列式を表すと


    次の回路の伝達関数を求めよ。














    1

    −1

    −1

    0

    0
    R1

    0
    1
    jωC

    1
    0

    1
    0

    R1

    0

    R2

    0

    0

    0

    R2

    0

    

    0

    
    
    
    −1
    
    
    
    
    0
    
    
    1

    R3 + jωC 
    
    
    1
    jωC

     

    I12  
     


    I23 
     
     
     
    =
    I24 
     
     


    I54 
     
     
    I46

    0












    Vin − Vout 



    0
    Vin
    0

    上式を次のように表す。

    Ax = B

    (9)

    式 (8) に代入するため I23 のみわかればいいのでクラメルの式
    を使う。従って、まず |A| を求めると

    |A|

    =

    1
    0

    −1
    0

    −1 0
    1 1

    0
    −1

    R1

    1
    jωC

    0

    0

    0

    R1

    0

    R2

    1
    0 R3 + jωC

    0

    0

    R2

    0

    1
    R1

    −1
    1
    jωC

    −1
    0

    0
    0

    R1

    0

    R2

    1
    R3 + jωC

    0

    0

    R2

    1
    jωC

    1
    jωC

    Amp1,2 は理想アンプとする(バーチャルショートが成り立つ)。

    =

    2

    解法
    まず、Fig.1 の回路方程式を立てるため、各経路における電流を

    変数 I12 I23 I24 I54 I46 (I67 ) I78 (suffix が各経路をあらわしている)

    1
    第二列で展開し、 jωC
    = α とすると

    とするとキルヒホッフの第一法則、第二法則を用いて
    |A|=

    I12 = I23 + I24

    (1)

    I24 + I54 = I46
    1
    Vin − R1 I12 −
    I23 = 0
    jωC
    (
    )
    1
    Vin − R1 I12 − R2 I24 − R3 +
    I46 = Vout
    jωC
    Vout = 2RI78

    (2)
    (3)

    (5)

    R3 + α + α R1
    α
    0

    R2
    R2

    R3 + α
    α

    R2
    R2

    R2

    R3 + α

    R2

    α

    |A| =

    0

    + α

    R2
    R2

    R3 + α
    R1

    α
    0

    R3 + α
    α

    −R1 (R2 R3 ) − α(R2 R3 ) + α2 R1

    (10)

    R1 α − R2 R3 α − R1 R2 R3

    (11)

    2

    (6)

    クラメルの式より、Vin − Vout = β とすると

    (7)

    1
    0

    I23 =

    式 (5),(6) より、

    2
    I23
    jωC

    0

    R1
    0

    =

    と表すことができる。

    Vout =

    −1

    0

    (4)

    また、理想アンプのためバーチャルショートを用いると

    1
    I23 = RI78
    jωC
    1
    R2 I24 +
    I46 = 0
    jωC

    |A| = R1

    1

    R1

    (8)

    1
    R
    |A| 1
    R1
    0

    0
    0

    −1 0
    1 1

    Vin
    β
    0

    0
    R2
    R2

    0
    0
    0

    0
    −1
    0
    R3 + α
    α

    さらに、式 (23) の ω0 を用いて正規化を行うと

    右辺の分子を第 4 列で展開すると

    1

    0

    −1

    0

    R1
    R1
    0

    Vin
    β
    0

    0
    R2
    R2

    0
    R3 + α
    α

    Vin

    0

    0

    β
    0

    R2
    R2

    R3 + α
    α

    =



    =

    Vin (−R2 R3 ) − α(R1 β − R1 Vin )

    =

    −R2 R3 Vin + αR1 Vout

    R1

    Vin

    0

    R1
    0

    β
    0

    R3 + α
    α

    Vout
    Vin

    =

    G√

    Vout
    Vin

    =

    G√

    1
    Q
    (ω02 −ω 2 )2
    1 2
    + (Q
    )
    ω02 ω 2
    1
    Q
    1 2
    ( ωω0 − ωω0 )2 + ( Q
    )

    −R2 R3 Vin + αR1 Vout
    R1 α2 − R2 R3 α − R1 R2 R3

    (14)

    式 (13) を式 (8) に代入すると

    −R2 R3 Vin + αR1 Vout
    R1 α2 − R2 R3 α − R1 R2 R3
    −(R1 α2 + R2 R3 α + R1 R2 R3 )Vout = −2αR2 R3 Vin
    Vout
    2αR2 R3
    =
    2
    Vin
    R1 α + R2 R3 α + R1 R2 R3
    2 R3
    jω R12R
    Vout
    R2 R3 C
    =
    R1
    R2 R3
    2
    Vin
    R1 R2 R3 C 2 + jω R1 R2 R3 C + (jω)
    Vout = 2α

    jω R12C
    Vout
    =
    1
    1
    2
    Vin
    R2 R3 C 2 + jω R1 C + (jω)

    (15)
    (16)
    (17)
    (18)
    (19)
    に、Q 値は通過帯域の鋭さを表していることがわかる。

    ここで、jω = s とすると
    2
    Vout
    R1 C s
    = 2
    Vin
    s + R11C s + R2 R13 C 2

    (20)

    式 (20) がこの回路の伝達関数を表している。次に、この伝達関数
    の式を次のように標準形に変換する。
    ω0
    Vout
    Qs
    = G 2 ω0
    Vin
    s + Q s + ω02

    (21)

    G は利得、ω0 は通過帯域の中心周波数、Q は通過帯域の鋭さを表
    している。この形に変形したときのそれぞれの値は、

    ω02

    =

    ω0

    =

    Q =
    Q =
    Q =

    G =

    1
    R2 R3 C 2
    1

    C R2 R3
    ω0 R1 C
    1

    R1 C
    C R2 R3
    R
    √ 1
    R2 R3
    2

    となる。次に、ゲイン曲線を求めるために式 (20) の絶対値を求め
    る。もう一度 s = jω と置きなおして

    |j ωQ0 ω|

    Vout
    Vin

    = G

    Vout
    Vin

    = G√

    |ω02 − ω 2 + j ωQ0 ω|
    ω0


    (ω02 − ω 2 )2 + ( ωQ0 ω)2

    (25)

    (12) 式 (25) のようになり、正規化することができた。その結果のグラ
    フを以下に示す。中心周波数は 1kHz として、Q 値を変化させた
    (13)
    ときの BPF の特性の変化を表す。このグラフを見て分かるよう

    従って、I24 は

    I24 =

    (24)

    (22)
    (23)

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