明星大学_代数学1(PF2010)_1・2単位_合格レポート

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    資料紹介

    1単位目
    【課題】
    1.Gを群とする。任意のx,y∈G に対して(xy)^2=x^2 y^2 が成り立つならば,Gは可換群であることを示せ。ただし,群の公理のみを使って示すこと。
    2.G=R-⟨-1⟩ とし,演算a*b=a+b+ab を考える。ただし,右辺は実数における普通の和と積である。
    (1)集合Gはこの演算で閉じていることを示せ。すなわち,a,b∈G ならa*b∈G となることを示せ。
    (2)(G,*) は群になることを示せ。
    (3)3*x*2=5 を満たすx∈G を求めよ。
    3.正三角形の二面体群D_6 の自明でない部分群をすべて求めよ。
    2単位目
    【課題】
    1.σ=(■(1&2&3@↓&↓&↓@5&3&1) ■(4&5&6@↓&↓&↓@2&4&7) ■(7@↓@6) ) は偶置換か奇置換かを調べよ。
    2.二面体群D10の共役類を求めよ。
    3.整数nに対して,φ(n)=i^n と定める。ただし,iは虚数単位。
    (1)φ は加法群Zから乗法群Cxへの準同型写像であることを示せ。
    (2)φ の像と核を求めよ。
    (3)φ の準同型定理を適用するとどのようなことが分かるか。

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    1 単 位 目
    【 課 題 】
    ..
    . が 成 り
    の公理のみを使って示すこと。
    2..=.−〈−1〉とし,演算.∗.=.+.+..を考える。ただし,右
    辺は実数における普通の和と積である。
    わち,.,.∈.なら.∗.∈.となることを示せ。
    (2)..,∗.は群になることを示せ。
    (3)3∗.∗2=5を満たす.∈.を求めよ。
    3.正三角形の二面体群..の自明でない部分群をすべて
    求 め よ 。
    1. ... .
    . = .
    ..
    .の左辺と右辺は,それぞれ
    ... .. = .... ( 左 辺 )
    .
    ..
    . = .... ( 右 辺 )
    左 辺 = 右 辺 よ り ,
    .... = .... ・ ・ ・ ①
    群 の 公 理 よ り , ..
    .. = . = .
    る 。 ま た , ..
    .. = . = .
    .
    .. .... = .
    .. ....
    ... = ...
    y - 1 を 右 か ら か け て ,
    ....
    .. = ....
    ..
    .. = ..
    従って,任意の.,.∈.に対して........

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