1単位目
【課題】
1.Gを群とする。任意のx,y∈G に対して(xy)^2=x^2 y^2 が成り立つならば,Gは可換群であることを示せ。ただし,群の公理のみを使って示すこと。
2.G=R-⟨-1⟩ とし,演算a*b=a+b+ab を考える。ただし,右辺は実数における普通の和と積である。
(1)集合Gはこの演算で閉じていることを示せ。すなわち,a,b∈G ならa*b∈G となることを示せ。
(2)(G,*) は群になることを示せ。
(3)3*x*2=5 を満たすx∈G を求めよ。
3.正三角形の二面体群D_6 の自明でない部分群をすべて求めよ。
2単位目
【課題】
1.σ=(■(1&2&3@↓&↓&↓@5&3&1) ■(4&5&6@↓&↓&↓@2&4&7) ■(7@↓@6) ) は偶置換か奇置換かを調べよ。
2.二面体群D10の共役類を求めよ。
3.整数nに対して,φ(n)=i^n と定める。ただし,iは虚数単位。
(1)φ は加法群Zから乗法群Cxへの準同型写像であることを示せ。
(2)φ の像と核を求めよ。
(3)φ の準同型定理を適用するとどのようなことが分かるか。
1 単 位 目
【 課 題 】
..
. が 成 り
の公理のみを使って示すこと。
2..=.−〈−1〉とし,演算.∗.=.+.+..を考える。ただし,右
辺は実数における普通の和と積である。
わち,.,.∈.なら.∗.∈.となることを示せ。
(2)..,∗.は群になることを示せ。
(3)3∗.∗2=5を満たす.∈.を求めよ。
3.正三角形の二面体群..の自明でない部分群をすべて
求 め よ 。
1. ... .
. = .
..
.の左辺と右辺は,それぞれ
... .. = .... ( 左 辺 )
.
..
. = .... ( 右 辺 )
左 辺 = 右 辺 よ り ,
.... = .... ・ ・ ・ ①
群 の 公 理 よ り , ..
.. = . = .
る 。 ま た , ..
.. = . = .
.
.. .... = .
.. ....
... = ...
y - 1 を 右 か ら か け て ,
....
.. = ....
..
.. = ..
従って,任意の.,.∈.に対して........